RELASI DAN FUNGSI

A. Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Kali ini, diperkenalkan tiga cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius

1. Himpunan Pasangan Berurutan.
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips
2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)

B. Fungsi
Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B

1. DOMAIN, KODOMAIN DAN RANGE FUNGSI
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A B
Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain
Himpunan B disebut Daerah kawan/lawan atau Kodomain
Himpunan bagian dari himpunan B yang anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut Daerah hasil atau Range

2. KORESPONDENSI SATU-SATU
Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B
dengan n(A) = n(B) = n adalah n X (n - 1) X (n - 2) X … X 3 X 2 X 1 = n! (dibaca n faktorial)

Disunting Dari LKS Matematika Kelas XI SMK
Continue Reading...

Barisan Dan Deret Geometri

1.BARISAN GEOMETRI
Definisi : Barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap.
Bilangan ini disebut rasio (r)

U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)

2. DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:
1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
5. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + ...
Un = a + ar + ar² ...n=1
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r


Disunting dari http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0414%20Mat%202-5c.htm
Continue Reading...

Baris Dan Deret Aritmatika

# BARISAN ARITMATIKA

Dalam pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwa
barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . .,Un. Barisan bilangan ini disebut sebagai barisan bilangan aritmatika, jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap.
Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi,Jika dalam barisan aritmatika tersebut suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1)b
U1, U2, U3, .......Un-1,
Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

# DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a ,a + b

Disunting dari http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0414%20Mat%202-5c.htm
Continue Reading...

Baris Dan Deret Bilangan

1. Pengertian Pola Bilangan
Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.
Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan akan kami bahas. Dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilangan asli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilangan asli.

Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:
Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }
Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}
Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan
Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }
Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola
bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan
bilangan asli.

2. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap
a. Pola Bilangan Ganjil
Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}
Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n2(n kuadrat)

b. Pola Bilangan Genap
Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)

3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di
perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1 atau (2 pangkat n-1)

B. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan
dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.

Menentukan Suku Barisan
Untuk menentukan suku-suku barisan bilangan dapat dicari
dari melihat suku-suku barisan bilangan yang telah diketahui.

Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan
Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari
dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan.

(Disunting dari LKS Matematika Kelas XI Smt Ganjil)
Continue Reading...

Sudut-Sudut Istimewa

Sudut (90 - a)
sin (90 - a) = Cos a
Cos (90 - a) = sin a
tan (90 - a) = cot a

Sudut (90 + a)
sin (90 + a) = Cos a
Cos (90 + a) = - sin a
tan (90 + a) = - cot a

Sudut (180 - a)
sin (180 - a) = sin a
Cos (180 - a) = - Cos a
tan (180 - a) = - tan a

Sudut (180 + a)
sin (180+a) = -sina
Cos (180 + a) = - Cos a
tan (180 + a) = tan a

Sudut (270 - a)
sin (270 - a) = - Cos a
cos (270 - a) = - sin a
tan (270 - a) = ctg a

Sudut (270 + a)
sin (270 + a) = -cos a
cos (270 + a) = sin a
tan (270 + a) = - cot a

Sudut (360 - a)
sin (360 - a) = - sin a
Cos (360 - a) = Cos a
tan (360 - a) = - tan a

Sudut (360 + a)
sin (360 + a) = sin a
Cos (360 + a) = Cos a
tan (360 + a) = tan a

Sudut Negatif
sin (-a) = - sin a
Cos (-a) = Cos a
tan (-a) = - tan a

Disunting dari http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0426%20Mat%203-1c.htm
Continue Reading...

Rumus-Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
1. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
2. cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
3. tg(a + b ) = tg a + tg b : 1 - tg2a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)
1. sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
2. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
3. tg(a - b ) = tg a - tg b : 1 + tg2a

SUDUT RANGKAP
1. sin 2a = 2 sin a cos a
2. cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
3. tg 2a = 2 tg 2a : 1 - tg2a
4. sin a cos a = ½ sin 2a
5. cos2a = ½(1 + cos 2a)
6. sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
1. sin na = 2 sin ½na cos ½na
2. cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
3. tg na = 2 tg ½na : 1 - tg2 ½na

BENTUK PERKALIAN & PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
Continue Reading...

Download Modul TKJ Kelas XII SMK

Continue Reading...
 

Ritta_Mariest d'Blogsite Copyright © 2009 Girlymagz is Designed by Bie Girl Vector by Ipietoon